А. Н. Балабушкин
Май 2004 года
Материал предоставлен Фондовой биржей РТС

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЙ

3.1. НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

При выводе формулы для теоретической стоимости опционов необходимо задаться какой-то количественной моделью тех условий, в которых совершаются операции с опционами. При этом неизбежно приходится делать ряд упрощающих предположений. Одно из ключевых связано с процентными ставками и состоит в следующем. Вводится понятие безрисковой процентной ставки, единой для всех участников торгов и одинаковой как для привлечения, так и для размещения средств. Кроме того, считается, что временная структура процентных ставок удовлетворяет условию: если R_i = R(T_i) - годовые процентные ставки для некоторого набора периодов T_i < 1 (время в долях года), выраженные в виде простого процента, то существует единая величина r такая, что

e^rT_i = 1 + R_iT_i ,       (3.1)
для всех i. Из этого следует, в частности, что если для некоторого периода T задана процентная ставка R = R(T), то для любого кратного периода T_n = Tn процентная ставка R_n = R(T_n) однозначно определяется по правилу сложных процентов:

e^nrT = (e^rT)ⁿ = (1 + RT)ⁿ = 1 + R_nT_n = e^rT_n .
Можно также сказать, что при расчете эффективной годовой процентной ставки R^eff по формуле сложных процентов на основании заданных простых процентных ставок R_i = R(T_i) всегда получается одинаковый результат: R^eff = e^r - 1. Это предположение, с одной стороны, не лишено оснований и по крайней мере приближенно часто выполняется; с другой, позволяет отвлечься от вопросов, связанных с «короткими» и «длинными» деньгами, поскольку специфические вопросы, связанные с опционами, сами по себе достаточно сложны.

Геометрический смысл параметра r , который называется непрерывно начисляемой процентной ставкой (continuously compounded interest rate), показан на рис. 3.1. Здесь для наглядности параметр r рассчитывается для 6-месячной процентной ставки R = 200% и оказывается равен r = 140%. Экспонента e^rt подобрана так, чтобы пройти через точку A на прямой 1 + Rt, а прямая 1 + rt - касательная к этой экспоненте в нуле. Смысл непрерывно начисляемой процентной ставки сводится к тому, что для малых T (на практике для одного дня, а в пределе для бесконечно малых T ) величина r дает простой годовой процент, а для больших периодов по предположению рост денежных средств удовлетворяет формуле сложных процентов, то есть происходит непрерывная капитализация дохода. Экспоненциальная форма представления сложных процентов удобна с математической точки зрения и широко используется в теоретических выкладках при определении стоимости опциона. Также записываются и окончательные результаты. Интересно, однако, что эти выражения (по крайней мере те из них, которые будут встречаться ниже) всегда содержат параметр r в готовых комбинациях e^rT и e^-rT, которые при расчетах можно просто заменить соответственно на правую часть (3.1) и

e^-rT = 1/(1 + RT).       (3.2)

Рис. 3.1. Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200%

Еще одно предположение, используемое при выводе формулы стоимости опциона, состоит в том, что за время существования опциона процентная ставка r будет постоянной. Принципиально рассуждения не меняются, если считать, что будущая динамика процентной ставки r в этот период заранее известна.

Вообще говоря, непрерывно начисляемый процент применяется и в тех случаях, когда предположение (3.1) о временной структуре процентных ставок не выполняется. Тогда необходимо указывать, для какого периода T задан процент r , представляющий собой просто другую форму записи процента R. Процентные ставки r для различных периодов T легко сравнивать, поскольку большему r соответствует б.льшая годовая эффективная процентная ставка.

3.2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНЫ БАЗИСНОГО АКТИВА

Для определенности будем говорить об опционах на фьючерсы и обозначать текущую фьючерсную цену символом F , однако под F можно понимать текущую цену любого базисного актива.

Предполагается, что динамика цены базисного актива в течение торговой сессии описывается некоторым непрерывным случайным процессом, причем и между сессиями скачков цены не происходит. Не вдаваясь в математические подробности, связанные с корректным представлением непрерывных случайных процессов, примем более простое и наглядное описание цены как дискретного процесса с некоторым временным шагом τ: F₀ =F, F₁, F₂, ..., F_m. Шагом может быть один день, одна неделя, один час, 15 мин и т.д. Шаг будет выражаться в долях года, причем поскольку процесс «существует» только в течение торговых сессий, то 1 год считается равным в среднем 252 рабочим дням, и если, например, шаг по времени равен одному дню (типичный случай), то

τ = 1 / 252.
Дискретная модель движения цены описывается уравнением

      (3.3)

µ - средняя скорость тренда цены, выраженная как простой годовой процент;

σ - волатильность (volatility);

ξ1,  ξ2, ... , ξm - последовательность гауссовских независимых случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией.

Первое слагаемое справа при отсутствии второго и достаточно малом интервале τ задает экспоненциальный рост или снижение цены по формуле

F(t_k) = F_k = Fe^µt_k,       (3.4)

Модель (3.3) при 0 → τ переходит в модель непрерывного изменения цены, которая в некотором отношении проще, так как дает более компактные результаты. Если использовать эту модель для прогноза цены в определенный будущий момент t , то F(t) имеет так называемое логнормальное распределение со средним

3.3. ТИПЫ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

В главе 5 будет показано, что парадоксальным на первый взгляд образом теоретическая стоимость опциона не зависит от скорости тренда µ цены базисного актива. Для оценки стоимости опциона важно спрогнозировать волатильность цены базисного актива σ в будущий период до момента экспирации опциона. Различают 4 типа волатильности:

опционную волатильность4 (implied volatility).

Истинная будущая волатильность - это то, что хотелось бы знать сегодня, но что станет известно только по прошествии данного периода.

Историческая волатильность определяется по ценам базисного актива в некоторый предшествующий период времени. Для того чтобы получить оценку параметров µ, σ по дискретному набору цен базисного актива F₀= F, F₁, F₂, ..., F_m , необходимо определить относительные изменения цены за период .

рассчитать среднюю скорость тренда


а затем вычислить оценку волатильности для периода τ


Используя обычную терминологию, можно сказать, что волатильность δ - это СКО случайных величин u₁, u₂, ..., u_m. Оценки коэффициентов µ, σ получаются нормированием:

Для прогнозирования волатильности часто используется следующий прием. Задавшись некоторой шириной окна w , например, в 20 точек (20 рабочих дней или 1 месяц), «скользят» этим окном по имеющейся записи цены базисного актива. Для попадающих в окно точек определяются µ и σ, которые отображаются на графике для даты, являющейся правым краем окна (то есть процедура построения этих графиков аналогична построению графика скользящего среднего, применяемого в техническом анализе). Эти данные могут быть использованы в качестве ориентира для прогнозирования волатильности на будущий период. При этом рекомендуется сначала выбрать ширину окна w порядка длины прогнозируемого периода, а затем проанализировать графики для других значений этого параметра. Как и при прогнозе динамики цены базисного актива, для предсказания волатильности привлекается разнообразный арсенал методов фундаментального и технического анализа, а также то, что можно назвать «чувством рынка».

Одним из наблюдений о поведении волатильности базисных активов на относительно стабильных западных рынках является возврат к среднему (reversion to the mean). Различные базисные активы характеризуются средними значениями волатильности, которые являются весьма устойчивыми в том смысле, что графики исторической волатильности на длительном временном интервале испытывают колебания вверх и вниз относительно этих средних значений.

О последнем виде волатильности речь подробно пойдет в главе 10, однако здесь определить ее можно как расчетный параметр, который необходимо подставить в формулу для теоретической стоимости опциона, чтобы при фиксированных остальных параметрах (цене базисного актива, страйке, времени до экспирации, процентной ставке) получить заданное значение премии. Иными словами, если прямое назначение теоретических формул - давать стоимость опциона в зависимости от различных ценообразующих факторов, то для определения опционной волатильности необходимо решить обратную задачу - по заданной премии, с которой была совершена реальная сделка, рассчитать соответствующую волатильность. По графикам опционной волатильности также строятся прогнозы, причем возврат к среднему здесь тоже имеет место.

3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH

Если в (3.7) положить u = 0 и использовать упрощенный вариант этой формулы:

то отличие результатов, как правило, пренебрежимо мало. Отдельные наблюдения u_i² в (3.9) суммируются с одинаковыми весами. Обобщением этого выражения является


где


а величина V имеет смысл долговременного среднего для величины δ² и вводится для учета тенденции возврата волатильности к среднему. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям u_i² обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего момента. Одним из наиболее часто упоминаемых и используемых в настоящее время способов оценки волатильности является GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), в котором используется рекуррентный вариант соотношения (3.10). Предположим, что с течением времени в каждый дискретный момент t_k вычисляется своя оценка волатильности δ_k² В наиболее распространенном методе GARCH(1,1) по оценке δ_k-1² и последнему наблюдению u_i² новая оценка δ_k² вычисляется следующим образом


где γ, β, α - постоянные положительные коэффициенты, α < 1. Если предположить, что имеется бесконечная предыстория наблюдений u_i² , то эта рекуррентная формула может быть последовательно преобразована в выражение:


Нетрудно видеть, что (3.11) в данном случае эквивалентно тому, что γ + β + α = 1.

Обобщением GARCH(1,1), называемым GARCH(p,q), является выражение вида (3.12), куда входят

однако такие выражения используются реже.

Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором γ = 0 , то есть не учитывается возврат к среднему. В системе оценки рыночного риска RiskMetrics, разработанной J.P.Morgan, волатильности вычисляются методом EWMA с α = 0.94 , β = 0.06. Эти параметры были выбраны как наилучшие в среднем для всех рынков.

До сих пор речь шла о вычислении оценки волатильности для текущего момента. Для того чтобы сделать прогноз волатильности на l шагов вперед, в модели GARCH(1,1) следует использовать выражение

Так как α + β < 1, то по мере увеличения глубины прогноза оценка сходится к V . В EWMA α + β = 1 , поэтому наилучший прогноз просто совпадает с текущей оценкой волатильности.

Пример 3.1. Проиллюстрируем метод EWMA на примере цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС в «послекризисный» период 01.10.98 - 20.06.02 (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС.




Рис. 3.3. Историческая волатильность и прогноз методом EWMA c α = 0.99.

На рис. 3.3 каждая точка графика «волатильность» означает историческую волатильность, рассчитанную по предшествующему 60-дневному периоду. График «EWMA 0.99» построен методом EWMA с α = 0.99 , при этом каждая точка графика отнесена не к тому моменту, в который она могла бы быть реально рассчитана, а сдвинута вправо (в будущее) на 60 точек. Тем самым для каждого момента изображена истинная волатильность в предшествующий 60-дневный период и ее прогноз методом EWMA.

Если построить график, подобный рис. 3.3, для α = 0.94, то окажется, что в этом случае EWMA чрезмерно сильно реагирует на последние по времени движения цены и ошибочно прогнозирует их вперед. При α = 0.99. прогноз оказывается лучше, например, по критерию среднего квадрата отклонений прогноза от исторической волатильности.

Относительно скорости тренда µ на основании рис. 3.2 можно сделать лишь тот вывод, что после начального периода роста цены наступил период бокового тренда, то есть в первом приближении можно считать, что µ = 0 . Если бы рассматривался курс рубля к доллару, то долговременный тренд прослеживался бы более четко.

Данная книга содержит базовые сведения о том как происходит расчет и исполнение опционов, так же торговля фьючерсами. В книге вы узнаете что такое: call и put опцион, реальные и синтетические опционы.