А. Н. Балабушкин
Май 2004 года
Материал предоставлен Фондовой биржей РТС

ГЛАВА 6. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ

6.1. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН КОЛЛ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Предельное выражение для C^аес , о котором шла речь в предыдущей главе, является ничем иным как знаменитой формулой Блэка-Шоулса. Авторы получили ее методом, основанным на теории случайных процессов. Эта формула для стоимости европейского опциона колл на бездивидендную акцию с уплатой премии имеет вид:

N(x) - функция стандартного нормального распределения. Выражения для d₁, d₂, допускают очевидное упрощение вынесением экспоненты из-под знака логарифма, однако приведенное представление позволяет, во-первых, заменить непрерывно начисляемый процент обычным (см. главу 3), во-вторых, в дальнейшем легко модифицировать эту базовую формулу применительно к остальным вариантам опционов.

Сравнение (6.1) с (5.3) показывает, что здесь Se^µT заменено на Se^rT. Так же, как и в главе 4, это является следствием определенной активности покупателя или продавца опциона. Однако имеется и существенное различие: если формулы главы 4 основаны на арбитражных стратегиях, по крайней мере теоретически гарантирующих результат, то описанные в предыдущей главе стратегии зависят от точности прогноза будущей истинной волатильности σ. Если волатильность σ оценена неверно, то неправильными будут расчетные стоимости опциона и коэффициенты ∆, вследствие чего результат операции не совпадет с ожидаемым и будет зависеть от случайных факторов.

6.2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Перечислим все условия, при которых справедлива формула (6.1):

• выполнены предположения о процентных ставках главы 3;
• динамика цены базисного актива в течение срока действия опциона описывается уравнением (3.3) с постоянными µ и σ;
• рынок базисного актива абсолютно ликвиден - в любой момент имеется возможность купить или продать без покрытия любое, в том числе дробное, количество акций;
• средства, полученные от продажи акций без покрытия, могут быть использованы в полном объеме;
• спрэд между рыночными ценами покупки и продажи акций пренебрежимо мал;
• комиссионные и налоги равны нулю;
• по акции не выплачиваются дивиденды за время существования опциона;
• на рынке отсутствуют безрисковые арбитражные возможности;
• торговля осуществляется непрерывно.

Очевидно, что эти предположения являются идеализацией реальной рыночной ситуации. В дальнейшем будут сделаны некоторые замечания, связанные с возможными отклонениями принятой модели от действительности.

6.3. МОДИФИКАЦИИ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛСА

Европейский опцион колл на дивидендную акцию

В предположениях относительно дивидендов по акции, при которых получена формула (4.2), в формуле Блэка-Шоулса необходимо заменить S на S^див.

Европейский опцион колл на валюту

Формула для вес C - европейского опциона колл на валюту - получается из (6.1) заменой выражения Se^rT на Se^(r-r_B)T. (см. (4.3)).

Европейский опцион колл на фьючерс с уплатой премии

Формула Блэка для C^фес отличается от (6.1) заменой выражения Se^rT на F - текущую фьючерсную котировку. Если при этом сроки истечения действия фьючерсного контракта и опциона не совпадают, то в формулу, как обычно, следует подставлять оставшееся время существования опциона.

Европейский опцион колл на фьючерс без уплаты премии

В соответствии с предыдущим пунктом и соотношением (4.4) формула для C^феб имеет вид:

Таким образом, C^феб отличается от C^фес отсутствием дисконтирующего множителя e^-rT. перед всем выражением.

6.4. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН ПУТ

В разделе 5.1 получена однозначная связь (5.6) стоимостей европейских опционов колл и пут на бездивидендную акцию на одном страйке, причем это соотношение не зависит от модели движения цены. Это выражение легко переносится на все остальные варианты европейских опционов с уплатой премии заменой Se^rT на соответствующие выражения аналогично тому, как это было сделано для опциона колл в предыдущем разделе.

Для опциона на фьючерс это тождество можно интерпретировать как невозможность получения арбитражной прибыли за счет конверсии или реверсии (см. раздел 2.7, а также главу 11). Действительно, в случае реверсии сумма, получаемая в день экспирации, равна F - E , следовательно, в момент t = 0 эта позиция должна стоить e^-rT[F -E].

Для европейского опциона на фьючерс без уплаты премии ситуация, как всегда, упрощается:

Данная книга содержит базовые сведения о том как происходит расчет и исполнение опционов, так же торговля фьючерсами. В книге вы узнаете что такое: call и put опцион, реальные и синтетические опционы.