А. Н. Балабушкин
Май 2004 года
Материал предоставлен Фондовой биржей РТС

ГЛАВА 8. АМЕРИКАНСКИЕ ОПЦИОНЫ

8.1. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД

Американский опцион предоставляет владельцу дополнительные права по сравнению с европейским, и это должно отразится в увеличении премии. Очевидно, что стоимость американского опциона не может быть меньше его внутренней стоимости (см. замечание к рис. 2.1, 2.2). В тех случаях, когда график теоретической стоимости европейского опциона целиком лежит выше ломаной, изображающей внутреннюю стоимость опциона, дополнительные права по американскому опциону являются как бы излишними - раннее исполнение опциона приводит к потере временной стоимости. Тем самым стоимости американских опционов колл и пут на фьючерсы без уплаты премии, а также стоимость американского опциона колл на бездивидендную акцию совпадают со стоимостями соответствующих европейских опционов. В остальных случаях американские опционы требуют отдельного рассмотрения.

Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость не только европейских, но и американских опционов. Продолжая пример 5.1 (раздел 5.2), предположим, что r=360%. Для стоимости европейского опциона в узле 5000 за день до экспирации было получено значение 50e^-rτ = 49.5 . Это значение необходимо сравнить с внутренней стоимостью опциона и в качестве стоимости американского опциона взять наибольшее из двух. Поскольку внутренняя стоимость опциона в узле 5000 равна нулю, то стоимость американского опциона совпадает со стоимостью европейского: 49.5. Однако в следующем узле 5200 ситуация меняется: стоимость европейского опциона равна 200e^-rτ = 198 , а внутренняя стоимость 200, следовательно, американский опцион должен стоить 200. Продолжая расчеты, в исходной точке для стоимости американского опциона получаем 219, тогда как европейский опцион при тех же условиях стоил 214.

Графики стоимости американских опционов на фьючерс с уплатой премии C^фес , P^фес изображены на рис. 8.1, 8.2. Результаты получены биномиальным методом при количестве шагов в решетке n=50. На каждом из графиков выделяется критическая точка U, которая делит график на две части. Для опциона колл правая, а для опциона пут левая часть графика прямолинейны и совпадают с графиком внутренней стоимости. Для сравнения в том же масштабе изображены также кривые стоимости европейских опционов с уплатой и без уплаты премии.

Рис. 8.1. Стоимость американского опциона колл на фьючерс с уплатой премии

Рис. 8.1. Стоимость американского опциона пут на фьючерс с уплатой премии

8.2. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Наряду с биномиальным методом для определения стоимости американских опционов используется так называемая квадратичная аппроксимация (предложенная в работах Macmillan/ Barone-Adesi и Whaley). Это приближенные аналитические соотношения, которые получаются при некотором упрощении исходной задачи. Соответствующие формулы приведены в приложении Б.

Кривые, полученные этим методом, показаны на тех же рис. 8.1, 8.2. При этом для опциона колл результаты биномиального метода и квадратичной аппроксимации практически совпадают. Для опциона пут аппроксимация на некотором участке значительно отклоняется вниз от точного графика и лежит даже ниже внутренней стоимости опциона. Очевидно, что для улучшения результата на этом участке следует вместо аппроксимации брать внутреннюю стоимость.

Пример 8.1. Рассмотрим более подробно европейский и американский опционы колл на фьючерс с уплатой премии на страйке 5000 с экспирацией через 3 месяца в одной точке - при фьючерсной цене 5000 (по-прежнему 3-х месячная ставка R=100%, волатильность σ=20%).

Формула Блэка в этом случае дает для европейского опциона C^фес = 168.3 . Для стоимости американского опциона квадратичная аппроксимация равна C^фас = 179.86, а критическая точка U = 5570. В таблице 8.1 приведены стоимости европейского и американского опционов, полученные биномиальным методом. Параметр n обозначает количество шагов, на которое разбивается срок действия опциона при построении решетки.

	n 10 20 30 40 50 100 200 Cфес 173.3 170.6 169.8 169.4 169.2 168.7 168.5 Cфас 181.7 179.5 178.7 178.4 178.2 177.8 177.6

Строка таблицы для C^фес в сопоставлении с точным значением C^фес подтверждает, что биномиальный метод в пределе дает такой же результат, как и соответствующая модификация формулы Блэка-Шоулса. Последняя строка показывает, что точное предельное значение стоимости американского опциона находится в районе 177.4, то есть ошибка квадратичной аппроксимации составляет 1.5%. Рассчитанное биномиальным методом при n=200 значение C^фас в критической точке квадратичной аппроксимации 5570 равно 575 (вместо 570 - ошибка около 1%), а точная критическая точка 5650. Практически, однако, погрешностями порядка нескольких процентов можно пренебречь, поскольку такой или большей является разность цен спроса и предложения. Считается, что в биномиальном методе достаточно разбить срок действия оцениваемого опциона на 20 - 30 шагов для получения удовлетворительного результата.

8.3. АМЕРИКАНСКИЙ ОПЦИОН НА ДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Отдельно следует остановиться на особенностях американских опционов на дивидендную акцию. Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость опционов и в этом случае. Простейший вариант исходных условий состоит в том, что заранее известен день выплаты дивидендов, после которого цена акции скачкообразно уменьшается на заранее известную величину. При этом возникает сложность формального характера, связанная с тем, что в отличие от упрощенного примера 5.1 в точном методе узлы решетки расположены неравномерно по цене (см. (5.7)), и одинаковый сдвиг в определенный момент во всех узлах приводит к рассогласованию решетки и резкому нарастанию количества узлов в последующем. Один из путей возможного решения проблемы состоит в том, чтобы несколько модифицировать решетку и с этой целью представить цену акции в любой момент существования опциона как сумму двух компонентов: регулярной составляющей, отражающей приведенные к текущему моменту будущие дивиденды за время существования опциона, и остальной части цены акции (ср. с (4.2)). Предполагается, что изменение только этой остальной части носит случайный характер и описывается биномиальной моделью. Так, если до экспирации опциона остается T = mτ (τ - шаг решетки по времени) и за этот период предполагается выплата одного дивиденда размера d в момент t , причем kτ < t < (k+1)τ , то значения цены акции в узлах решетки определяются по правилу:

Для приближенного аналитического расчета стоимости опциона колл применяются также следующие рассуждения: предполагается, что если и целесообразно проводить досрочное исполнение опциона, то только непосредственно перед выплатой дивидендов. Исходя из этого достаточно сравнить стоимость европейского опциона с исполнением в дату экспирации со стоимостями европейских опционов колл, сроки действия которых истекают непосредственно перед датами выплаты дивидендов, и выбрать наибольшую из получившихся величин в качестве стоимости американского опциона.

Еще один вариант анализа стоимости опциона состоит в том, чтобы изменить исходную посылку: считать, что вместо величины дивидендов заданы ставки дивидендов, то есть отношения размера дивиденда к цене акции на момент выплаты дивиденда. В этом случае после выплаты дивиденда узлы пропорционально смещаются вниз без нарушения решетки в последующем.

Для стоимости американского опциона колл на акцию, по которой за время существования опциона предполагается выплата одного дивиденда, в [10] приведено точное, хотя и довольно громоздкое, аналитическое выражение.

Американский опцион пут с точки зрения досрочного исполнения обладает свойством, которое не присуще опциону колл. Предположим, что имеется длинная позиция по опциону пут на акцию с экспирацией через 6 месяцев, страйк равен 5000, процентная ставка r=24%. Если к этому моменту цена акции упала, скажем, до 500, то исполнить такой опцион досрочно заведомо выгоднее, чем ожидать дня экспирации. Купив акцию по 500, потребовав исполнения опциона и поставив ее по цене 5000, можно разместить полученную прибыль под проценты с результатом ко дню экспирации 4500e^rT = 4500e^0.12 = 5074 , что больше максимально возможных 5000 на день экспирации. Естественно, не обязательно исполнять опцион, если есть основания предполагать, что цена акции снизится еще сильнее, - необходимо выбрать момент, когда выражение (E - S)e^rT окажется максимальным (T – время, оставшееся до экспирации).

Данная книга содержит базовые сведения о том как происходит расчет и исполнение опционов, так же торговля фьючерсами. В книге вы узнаете что такое: call и put опцион, реальные и синтетические опционы.